۱_ به شیوهٔ شمارش تعداد دایره‌ها توجه کنید. چه رابطه‌ای بین آن و شمارهٔ شکل‌ها وجود دارد؟
الف) تعداد دایره‌های شکل ۴ و شکل nام را بنویسید.
ب) با کمک عبارتی که برای جملهٔ nام نوشته اید، تعداد دایره‌های شکل دهم را پیدا کنید.
با بررسی شکل‌ها و عبارت‌های زیر آنها، یک رابطه مشخص بین شماره شکل و تعداد دایره‌ها پیدا می‌کنیم.
**رابطه الگو:**
تعداد دایره‌ها در هر شکل، از **دو برابر شماره آن شکل به علاوه یک** به دست می‌آید.
**الف) تعداد دایره‌های شکل ۴ و شکل nام:**
- **شکل چهارم:** با توجه به الگو، عبارت آن $۲ \times ۴ + ۱$ است.
تعداد دایره‌ها: $۲ \times ۴ + ۱ = ۸ + ۱ = ۹$
- **شکل nام:** اگر شماره شکل $n$ باشد، عبارت جبری آن به صورت زیر است:
$$۲n + ۱$$
**ب) تعداد دایره‌های شکل دهم:**
با استفاده از عبارت جبری که برای جمله $n$ام پیدا کردیم، عدد ۱۰ را به جای $n$ قرار می‌دهیم:
$$\text{تعداد دایره‌ها} = ۲(۱۰) + ۱ = ۲۰ + ۱ = ۲۱$$
بنابراین، شکل دهم **۲۱** دایره خواهد داشت.
۲_ اگر جملهٔ nام یک الگو $۳n-۵$ باشد، جملهٔ چهارم و دهم را پیدا کنید.
برای پیدا کردن هر جمله از این الگو، کافی است شماره آن جمله را به جای متغیر $n$ در عبارت جبری $۳n-۵$ قرار دهیم.
- **محاسبه جمله چهارم ($n=۴$):**
$$۳(۴) - ۵ = ۱۲ - ۵ = ۷$$
جمله چهارم این الگو عدد **۷** است.
- **محاسبه جمله دهم ($n=۱۰$):**
$$۳(۱۰) - ۵ = ۳۰ - ۵ = ۲۵$$
جمله دهم این الگو عدد **۲۵** است.
۳_ عبارت $۲n-۷$ را به ازای عددهای داده شده پیدا کنید. مانند نمونه راه حل را بنویسید.
برای پیدا کردن مقدار عبارت جبری $۲n-۷$ به ازای هر عدد، آن عدد را به جای متغیر $n$ در عبارت قرار داده و حاصل را محاسبه می‌کنیم. 📝
**جدول کامل شده:**
| n | ۱ | ۳ | ۰ | ۸ | $-۵$ | $-۷$ | $\frac{۳}{۲}$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| **$۲n-۷$** | **$-۵$** | **$-۱$** | **$-۷$** | **$۹$** | **$-۱۷$** | **$-۲۱$** | **$-۴$** |
**راه حل‌ها:**
- **برای $n=۳$:** $۲(۳) - ۷ = ۶ - ۷ = -۱$
- **برای $n=۰$:** $۲(۰) - ۷ = ۰ - ۷ = -۷$
- **برای $n=۸$:** $۲(۸) - ۷ = ۱۶ - ۷ = ۹$
- **برای $n=-۵$:** $۲(-۵) - ۷ = -۱۰ - ۷ = -۱۷$
- **برای $n=-۷$:** $۲(-۷) - ۷ = -۱۴ - ۷ = -۲۱$
- **برای $n=\frac{۳}{۲}$:** $۲(\frac{۳}{۲}) - ۷ = ۳ - ۷ = -۴$
۴_ برای پیدا کردن محیط تشک کشتی رابطهٔ $P=۴a$ نوشته شده است. محیط یک تشک کشتی به طول ۵ متر را پیدا کنید.
در رابطه $P=۴a$، متغیر $P$ نشان‌دهنده محیط و متغیر $a$ نشان‌دهنده طول ضلع تشک مربعی شکل است.
برای حل مسئله، مقدار داده شده برای طول ضلع ($a=۵$ متر) را در فرمول جایگذاری می‌کنیم:
$$P = ۴a$$
$$P = ۴ \times ۵ = ۲۰$$
بنابراین، محیط یک تشک کشتی به طول ۵ متر برابر با **۲۰ متر** است.
۵_ در نمودار جبری زیر به جای x مقدار ۳ را قرار دهید و حاصل را پیدا کنید. عبارت‌های جبری نمودار را کامل کنید.
این نمودار یک عبارت جبری را به صورت مرحله به مرحله نمایش می‌دهد. ابتدا عبارت‌های جبری هر مرحله را کامل می‌کنیم و سپس مقدار عددی را محاسبه می‌نماییم.
**۱. تکمیل عبارت‌های جبری نمودار:**
- ورودی: $x$
- پس از عملیات اول ($×۲$): $۲x$
- پس از عملیات دوم ($-۵$): $۲x - ۵$
**۲. محاسبه حاصل به ازای $x=۳$:**
با قرار دادن عدد ۳ به جای $x$ در عبارت نهایی، حاصل را به دست می‌آوریم:
$$۲x - ۵ \xrightarrow{x=۳} ۲(۳) - ۵ = ۶ - ۵ = ۱$$
بنابراین، حاصل نهایی برابر با **۱** است.
